Juan Carlos Villa Soto Ť Demostrar que algo no existe es más difícil que demostrar que algo sí existe. Se puede aceptar de manera intuitiva que una dona no es lo mismo que una esfera y que no se puede transformar una en la otra aunque se estiren, a menos que se rompa la superficie de la esfera. Sin embargo, demostrar que estos dos objetos no son iguales implica demostrar que no existe una función continua de un espacio al otro que tenga una inversa continua. Al referirse a la posibilidad de distinguir entre dos objetos topológicos, como en el caso anterior, el doctor Francisco Marmolejo Rivas, investigador del Instituto de Matemáticas de la UNAM, nos comenta que la topología se conoce como la ``geometría de hule'' en el sentido de que los objetos geométricos se pueden ``estirar'' sin que por ello dejen de ser la misma entidad (en este sentido un triángulo es igual a un circulo), lo único que no se puede hacer es romper los objetos, apuntó.

El doctor Marmolejo Rivas (n. Monterrey, 1961) nos dice que los matemáticos le asocian entidades algebráicas a los objetos geométricos para distinguir entidades topológicas. Sin embargo, cuando se empezó a hacer esto, era común que se elaboraran trabajos en los que, si bien se resolvían algunos problemas, no había orden en la forma en que se asociaban las entidades algebráicas y las topológicas. Esto repercutía en la forma de entender los problemas, amén de que no era una forma elegante y clara de resolverlos. Esto dio lugar a que en los cuarenta, S. Eilenberg y S. Mac Lane (uno dedicado al álgebra y el otro a la topología) decidieran sistematizar este proceso a partir de un lenguaje ordenador. Lo que hicieron fue identificar cada universo y separar las entidades en categorías. A partir de esto estudiaron cómo se puede pasar de un objeto topológico a uno algebráico mediante lo que denominaron funtores. El investigador aclaró que mientras que en la teoría de conjuntos, éstos se relacionan con funciones; en la teoría de las categorías, éstas se relacionan con funtores. De este modo quedaron establecidas las bases de la teoría de las categorías, acotó. El matemático dice que con la teoría de las categorías se volvió más claro y sencillo el proceso de asociar entidades topológicas con entidades algebráicas y ésta ayudó muchísimo al avance de la topología algebráica. Esto permitió, además, interpretar y resolver problemas que corresponden a una categoría a partir de traducirlos a problemas equivalentes en otra categoría y regresar a la categoría original a través de un funtor. No es que algunos problemas no se puedan resolver desde la propia categora, sino que resulta más fácil verlos desde otra categoría. Esto, agregó, es típico de las matemáticas, por ejemplo, la solución del último teorema de Fermat, no es sino la demostración de que una conjetura equivalente es cierta. El especialista en teoría de las categorías señaló que en los setenta, F. W. Lawvere y M. Tierney, quienes estaban buscando categorías que fueran buenos universos de discurso para hacer matemáticas (que se parecieran a los conjuntos), descubrieron la relación entre las categorías y la lógica. El entrevistado nos dice que todo lo que se hace en matemáticas se puede fundamentar desde la teoría de conjuntos y que la lógica de la teoría de conjuntos es la lógica clásica o booleana (en la que ``p'' y ``no no p'' es lo mismo). Empero, comentó que el desarrollo de las matemáticas constructivistas sugirió que podía haber categorías con otra lógicas. Lawvere y Tierney denominaron topos a las categorías en las que se podian satisfacer ciertos desarrollos matemáticos a partir de unos cuantos axiomas. Cada uno de los topos, dijo, tiene su propia lógica y en algunos casos ésta puede ser intuicionista en el sentido de que, por ejemplo, la doble negacion no es una afirmación: decir ``el candidato me cae bien'' no es lo mismo que ``no es que no me cae bien el candidato''. Asimismo, se pueden tener más valores de verdad que los que se tienen en los conjuntos, donde algo es verdadero o es falso: mientras que en la lógica clásica ``p'' y no p'' ``es falso y ``p o no p'' es verdadero, en la lógica de los topos se tiene una seudonegación en la que ``p o no p'' no es necesariamente verdadero. Finalmente, dijo que las computadoras son básicamente constructivistas y que la lógica que se emplea en sus algoritmos está relacionada con la lógica de los topos. Un problema básico es determinar cuándo dos fórmulas son equivalentes y transformar una en la otra cuando lo son.