La Jornada Ciencia en internet, 20 de marzo de 1997
Axioma de Elección.
Estaba yo con mucho frio comiendo un sandwich y me puse a pensar en el axioma de elección, un principio en matemáticas muy socorrido y complicado, para aclararlo estaba diseñando algo así como una conferencia, pensé, si les explico esto a mis alumnos (los cuales espero tener) le titularía a la clase: ``Calcetines de Colores'', y empezaria así...
Para cada color en el espectro de la luz (infinito número de tonalidades de colores) escojemos un par de calcetines de ese color y los metemos en un conjuntito, llamémosle el conjuntito de ese color (por ejemplo el conjuntito verde tiene dos calcetines verdes, y otro conjuntito de otra tonalidad tiene dos calcetines de esa otra tonalidad), recuérdese pues que cada conjuntito de color tiene exactamente dos calcetines de ese color.
Ahora bien se le pide al alumno que a cada color se le asigne un calcetín en el conjuntito de ese color, (por ejemplo queremos que al color amarillo se le asigne un calcetín amarillo del conjuntito amarillo.
El problema del axioma de elección surge al escojer el maldito calcetín, porque cuál escojes? Si en vez de calcetín fueran zapatos, seria bien fácil, sólo dices a cada color le asigno el zapato izquierdo de ese color, y tu función está perfectamente bien definida, si en vez de el conjuntito de calcetines de cierto color fueran el conjuntito formado por una falda y un pantalón de ese color, pues a cada color le asginamos la falda de ese color, es decir no tenemos ningún problema en hacer las asignaciones, siempre y cuando claro distingamos a los elementos, en este caso si fueran calcetines no se sabe (dado un color) qué calcetín escojer, no puedes decir el izquierdo, o el más chico, o el más obscuro, pues son casi idénticos, es decir para, dado un color, seleccionar de cada conjuntito un elemento tenemos que dar como una regla general (es decir una función), pero tal regla es difícil de definir, es difícil de hacer las ``asignaciones'' de un jalón, es difícil de hacer las ``selecciones o elecciones''.
Volviendo a nuestro ejemplo digo : En el caso de los calcetines, cuál de los dos escojemos, si parecen IDENTICOS, chin!, dije, como explico eso de ``IDENTICOS'', y bueno, dije, vamos a ver las cosas claramente, como definimos para empezar el conjunto de un par de calcetines, no podemos definirlo como {x,x} donde x es el calcetín, porque ese conjunto sería igual a {x}, es decir un conjunto, que queremos que tenga dos elementos, se convertiría en uno de un sólo elemento, (aquel lector sagaz se dará cuenta que ésto implicaría que 1=2 y por tanto podemos hacer, partiendo de un pan la cantidad de panes que queramos, šajale!). Dos calcetines que se distingan pero que sean iguales, carajos digo yo, Ƒqué se distingan?, Ƒcómo saber que son diferentes, los tendré que diferenciar? No porque me metería con rollos de diferencias físicas, bueno y Ƒpor qué no?, vamos a ver, pongamos algo más fácil de trabajar, pensemos en dos gotas de agua, en las cuales no se ve ninguna diferencia, hijole me surge la pregunta ƑHay dos gotas de agua iguales?
Principio de Exclusión de Pauli.
No podría haber dos gotas de agua iguales porque si lo fueran serían iguales y entonces serían la misma gota de agua Ƒo no?, ah, jijo, como está eso, hablo de diferencias físicas, me respondo y pregunto a manera filosófica: Ƒ``Hay dos gotas diferentes que sean iguales?'' me refiero, diferentes fisicamente pero iguales en características de peso y hasta si quieres número de moléculas. Parece que hay algo raro ahí, es decir Ƒqué se quiere decir con ``diferentes fisicamente''? Mmm, me pregunto a mi mismo, pues que sean diferentes en algún sentido, porque hay una diferencia clara entre cualesquiera dos gotas de agua y todo mundo la sabe, tú lector Ƒdime cual es? Claro,... la posición que ocupan el en espacio, (ajale lector sagaz, usted ya captó la razón del título), Ƒpero habrá otra diferencia además de esa? Mm, que tal si en lugar de de dos gotas de agua pensamos en... ``Dos electrones iguales''.
ƑCómo diferencias a un electrón de otro? Exacto, con la ayuda del PRINCIPIO DE EXCLUSION DE PAULI, dos particulas ``DIFERENTES'' no pueden ocupar la misma posición en el espacio, bueno Ƒqué es eso de ``diferentes''?, pues, pues, mmmm, que tienen algo diferente Ƒno? ƑCómo que algo? (respondo yo y al mismo tiempo pregunto), pues que será,... pues las nuevas particulas que integran el electrón y que son teorizadas hoy en la actualidad y que les llaman positrones, y cosas terminadas en trones, hablo de cosas mas pequeñas que los electrones, si, positrones, quarqz y esas jaladas y bla y bla, bla. Mmm, suponte que tienen esas mismas ``subparticulas iguales'', es decir imaginate que tienes exactamente dos electrones con todo y sus ``subpartículas'' iguales, cómo los diferencías a los electrones, no me respondas ``Pues porque ocupan diferente posición en el espacio'' porque inmediatamente te preguntaré Ƒpor qué no ocupan la misma posición en el espacio? y me responderás: ``Pues porque el principio de exlclusión de Pauli dice que dos particulas DIFERENTES...'' Momento no sigas, te quedaste en diferentes, Ƒcómo sabes que son diferentes?, y me responderás, mmm, pues, ... mmm, pues, ...
Posiciontrones.
Entonces esa discusión conmigo mismo me llevó a pensar que dos electrones que ocupan posiciones distintas en el espacio tienen que tener algo diferente (aparte de la posición), porque también se me pudo haber ocurrido el definir diferentes de la siguiente forma:
``Dos cosas en este universo son diferentes si ocupan diferente posición en el espacio.''
Sin embargo pienso que dentro de los electrones hay subpartículas y que adentro de esas subpartículas hay otras que voy a llamar ``POSICIONTRONES'' y que son las que los diferencian, estas subpartículas son como números, tienen como información numérica, como algo que les asocia una posición, un lugar en este universo, si esto fuera cierto se acabó el problema de decir cuándo dos electrones son diferentes, simplemente se contesta porque tienen distintios ``POSICIONTRONES'', es decir un electrón tiene un posiciontrón que marca cierta ubicación, como ciertas cordenadas en tres dimensiones, y el otro marca otras cordenadas digamos. Tales posiciontrones tienen su famosa información numérica basada en un punto de referencia, tal vez un lugar privilegiado en el universo, como el origen en el espacio euclidiano de tres dimensiones (en mi pueblo al espacio euclidiano de tres dimensiones le llaman erre tres), tal vez este punto de referencia sea el centro del universo, tal vez, esta teorización de nuevas particulas permite definir los conjuntos formados por dos calcetines matematicamente, simplemente les asociamos sus posiciontrones y ya, no hay pierde, nos permite definir matemáticamente el conjunto que consta de dos elctrones distintos, o dos fermiones distintos, esto deja ver que este rollo del axioma de elcción está intimamente ligado con el principio de Exlusión de Pauli, pero uno es una abstracción matemática y el otro un rollo físico, šchin! dije debo estar loco, terminé mi sandwich y me fui abrigado de regreso a la escuela, con un chorro de frio.
Madison Wisconsin.
¤ Jorge García ¤
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